Question

【題目】如圖，四棱錐中， ⊥底面， ， 為上一點(diǎn)．

（1）證明： ∥平面；

若， ，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）在上取點(diǎn)，使，根據(jù)平幾知識(shí)得四邊形是平行四邊形，即得,最后根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理證得∥平面（2）利用空間向量求二面角,先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果

試題解析：證明：（1）在上取點(diǎn)，使，

則， ，

則四邊形是平行四邊形，則，

則平面∥平面，∵ 平面，

∴∥平面

（2）是正三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖：

則

所以

設(shè)平面的法向量為

則由得令則，

則

同理得平面的法向量為

則

則二面角的正弦值