Question

在矩形中，已知，，E、F為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，和交于點(diǎn)，的外接圓為⊙．以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求以F、E為焦點(diǎn)，和所在直線為準(zhǔn)線的橢圓的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與⊙交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解（1）由已知，設(shè)橢圓方程為，

由于焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，它對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 ，…………………2分

所以，，于是 ，，

所以所求的橢圓方程為: ．    ……………………………………4分

 (2) 由題意可知，，，．

所以直線和直線的方程分別為:，，

        由　解得 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．……………6分

      所以，，

      因?yàn)?sub>，所以，  …………………………………………8分

所以⊙的圓心為中點(diǎn)，半徑為，

所以⊙方程為   .………………………………………10分

(3) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)均在⊙上，所以，

由②－①×4，得，

所以點(diǎn)在直線，………………12分

又因?yàn)辄c(diǎn)在⊙上，

所以圓心到直線的距離

 ，      ………………………………14分

即，

整理，得，即，

所以，故的取值范圍為．………16分

解法二：過作交于，

設(shè)到直線的距離，則

，

，

又因?yàn)?sub>

所以，，因?yàn)?sub>，

所以，所以，；

解法三：因?yàn)?sub>，，所以

所以，所以，．