Question

在矩形中，已知，，E、F為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，和交于點(diǎn)，的外接圓為⊙．以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求以F、E為焦點(diǎn)，和所在直線為準(zhǔn)線的橢圓的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與⊙交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

⑴當(dāng)時(shí)，由已知得

，，，

因?yàn)?sub>是等差數(shù)列，所以，，成等差數(shù)列，所以，

即，所以，解得，或．…………………2分

當(dāng)時(shí)，，對(duì)，成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，，對(duì)，成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列；

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為或．…………………………………4分

⑵因?yàn)?sub>是等比數(shù)列，所以，，成等比數(shù)列，所以，

即，化簡(jiǎn)得，所以或，

當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足．

當(dāng)時(shí)，若，則與矛盾，所以，因此．……………8分

則，因?yàn)?sub>按某種順序排列成等差數(shù)列，

所以有，或，或，

解之得或或．………………………………………………………12分

又因?yàn)?sub>，所以，所以，

由，得，即，

因?yàn)?sub>是正整數(shù)，所以的取值集合為．……………………………………16分