如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個三等分點,AC,DF相交于點G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
(1)若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍,求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.
分析:(1)以A為原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求出動點M的軌跡方程,即可求出圍成區(qū)域的面積;
(2)求出直線AC,DF的方程,可得G的坐標(biāo),計算kEG•kDF=-1,即可得到結(jié)論.
解答:(1)解:以A為原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(3,1),D(0,1),E(1,0),F(xiàn)(2,0).…(1分)
設(shè)M(x,y),由題意知|MD|=2|MC|…(2分)
x2+(y-1)2
=2
(x-3)2+(y-1)2
…(3分)
兩邊平方化簡得:即(x-4)2+(y-1)2=4…(5分)
即動點M的軌跡為圓心(4,1),半徑為2的圓,
∴動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π…(6分)
(2)證明:由A(0,0).C(3,1)知直線AC的方程為:x-3y=0,…(7分)
由D(0,1).F(2,0)知直線DF的方程為:x+2y-2=0,…(8分)
x-3y=0
x+2y-2=0
x=
6
5
y=
2
5
,故點G點的坐標(biāo)為(
6
5
2
5
)
.…(10分)
又點E的坐標(biāo)為(1,0),故kEG=2,kDF=-
1
2
   …(12分)
所以kEG•kDF=-1,即證得:EG⊥DF    …(13分)
點評:本題考查軌跡方程,考查直線方程的求解,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點,EP⊥平面ABCD.
(1) 求證:AQ∥平面CEP;
(2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點,現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點A到點P處,滿足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點.
(1)求證:BM∥平面PDE;
(2)線段BC上是否存在一點N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
(3)求△PBC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對角線BD將BCD折起,使點C移到點C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求證:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=
12
BC,E為AD的中點,將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求證:CE⊥AB;
(2)在線段BC上找一點F,使DF∥平面ABE.

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