【題目】已知函數(shù)；

（1）若，求證： 在上單調(diào)遞增；

（2）若，試討論零點(diǎn)的個數(shù).

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)時， 沒有零點(diǎn)； 時， 有一個零點(diǎn)； 時， 有兩個零點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）時， ， ，要證在上單調(diào)遞增，只要證： 對恒成立，只需證明（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）． （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即可證明；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分 討論，即可判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

試題解析：（1）時， ， ，

要證在上單調(diào)遞增，只要證： 對恒成立，

令，則，當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），

令，則，

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，故在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

在上單調(diào)遞增.

（2）由有，顯然是增函數(shù)，

令，得， ， ，

則時， ， 時， ，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴有極小值， ，

①當(dāng)時， ， ， 有一個零點(diǎn)1；

②時， ， ， 沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)時， ， ，又，

又對于函數(shù)， 時，

∴當(dāng)時， ，即，

∴ ，

令，則，

∵，∴，∴，∴，

又， ，∴有兩個零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)時， 沒有零點(diǎn)； 時， 有一個零點(diǎn)； 時， 有兩個零點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)正項數(shù)列的前項和為，且滿足：，，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若正項等比數(shù)列滿足，，且，數(shù)列的前項和為，若對任意，均有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有如下命題：

①； ②函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；

③函數(shù)的定義域與值域相同； ④函數(shù)的圖象必經(jīng)過第二、四象限.

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A.4B.3C.2D.1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在直角梯形中， ， ，將沿折起至，使二面角為直角.

(1)求證：平面平面；

(2)若點(diǎn)滿足, ，當(dāng)二面角為45°時，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

（1）估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布， 近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該正態(tài)分布，求；

（3）在（2）的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

（�。┑梅植坏陀�可獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于則只有1次；

（ⅱ）每次贈送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)概率如下：

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附： ，

若，則， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，手機(jī)的功能逐漸強(qiáng)大，很大程度上代替了電腦、電視.為了了解某高校學(xué)生平均每天使用手機(jī)的時間是否與性別有關(guān)，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了30名男生、20名女生進(jìn)行為期一周的跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

平均每天使用手機(jī)超過3小時

平均每天使用手機(jī)不超過3小時

合計

男生

25

5

30

女生

9

11

20

合計

34

16

50

(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)生使用手機(jī)的時間長短與性別有關(guān)？

(2)在這20名女生中，調(diào)查小組發(fā)現(xiàn)共有15人使用國產(chǎn)手機(jī)，在這15人中，平均每天使用手機(jī)不超過3小時的共有9人.從平均每天使用手機(jī)超過3小時的女生中任意選取3人，求這3人中使用非國產(chǎn)手機(jī)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：

P(K2≥k0)

0.500

0.400

0.250

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝2ex＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的圖象在x＝0處的切線方程為y＝ax＋2.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若存在實數(shù)x，使得f(x)－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整數(shù)k的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y-2=0上．

（1）求圓M的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA,PB是圓M的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某大豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：

日期

4月1日

4月2日

4月3日

4月4日

4月5日

溫差攝氏度

8

12

13

11

10

發(fā)芽數(shù)顆

18

26

30

25

20

該學(xué)習(xí)組所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是4月1日與4月5日這2組數(shù)據(jù)做檢驗，請根據(jù)4月2日至4月4日這3組數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）所得的線性回歸方程是否可靠？

參考公式和數(shù)據(jù)：，；，

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