Question

【題目】設(shè)a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若b=﹣1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n＜c＜a2n+1對所有的n∈N*成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1，

∴a2=2，a3= +1；

又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，

∴{（an﹣1）2}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列；

∴（an﹣1）2=n﹣1，

∴an= +1（n∈N*）；

（2）解：設(shè)f（x）= ，則an+1=f（an），

令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n＜c＜a2n+1＜1．

n=1時，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；

設(shè)n=k時結(jié)論成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1

∵f（x）在（﹣∞，1]上為減函數(shù)，

∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，

∴1＞c＞a2k+2＞a2，

∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，

∴c＜a2k+3＜1，

∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1時結(jié)論成立，

綜上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1對所有的n∈N*成立

【解析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2 ， a3；證明{（an﹣1）2}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)f（x）= ，則an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．