【題目】已知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式滿足.①證明:對(duì)所有正整數(shù),至少有五個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).
【答案】見解析
【解析】
式①等價(jià)于
. ②
在式②中分別令,,,.
則.
再在式②中令.則.
故、、0、1及是的根.則
, ③
其中,為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.
由式③得. ④
將式③、④代入式②得.
設(shè).則.
考慮兩邊次項(xiàng)系數(shù)知.
所以,為常數(shù).
故,其中,常數(shù).
首先證明:至少有四個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).
否則,至多有三個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)2、3、.但、、、兩兩之間的最大公因數(shù)為1、2、3,其中兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì),則為、.從而,兩個(gè)偶數(shù)為、.故.解得.
因此,這兩個(gè)偶數(shù)為8、6或16、18.前者不符,后者得到另兩個(gè)奇數(shù)為15、17或17、19,均導(dǎo)致矛盾.
其次,假設(shè)存在某個(gè)正整數(shù),使得的每個(gè)質(zhì)因數(shù)都是的質(zhì)因數(shù),且恰有四個(gè)質(zhì)因數(shù),否則,結(jié)論成立.
顯然,.
由,知或3,或7.故.
但9|不能,故,則.
由假設(shè)知、、、的質(zhì)因數(shù)為2、3、7、.則.
考慮其中兩個(gè)偶數(shù)、兩個(gè)奇數(shù)的質(zhì)因數(shù)集合、.顯然,,,.
故或且.
若或,則兩個(gè)偶數(shù)為、或、,得或.
故這兩個(gè)偶數(shù)為16、18或16、14.前者得7 |(n+2)不能;后者使有質(zhì)因數(shù)2、3、5、7及13(或17),矛盾.
若,則為奇數(shù),為偶數(shù).
由.
故,,且 .
從而,.
于是,.則,矛盾.
若,則,且為偶數(shù),.
故.
從而,,, .
于是,,矛盾.
若,則,且為奇數(shù),.故.
但,則的奇質(zhì)因數(shù)不是3、7,矛盾.
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【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試,當(dāng)他們被問到誰申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí),甲說:“丙或丁申請(qǐng)了”;乙說:“丙申請(qǐng)了”;丙說:“甲和丁都沒有申請(qǐng)”;丁說:“乙申請(qǐng)了”,如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對(duì)的,那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn),和是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),且,,求;
(Ⅱ)若對(duì)任意,都存在(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A,B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DC垂直于半圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.
(1)證明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí),求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若,當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某校為緩解高三學(xué)生的高考?jí)毫,?jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動(dòng),經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后從該年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,并將其成績(jī)分為、、、、五個(gè)等級(jí),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示(視頻率為概率),根據(jù)圖中抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)試估算該校高三年級(jí)學(xué)生獲得成績(jī)?yōu)?/span>的人數(shù);
(2)若等級(jí)、、、、分別對(duì)應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分,學(xué)校要求當(dāng)學(xué)生獲得的等級(jí)成績(jī)的平均分大于90分時(shí),高三學(xué)生的考前心理穩(wěn)定,整體過關(guān),請(qǐng)問該校高三年級(jí)目前學(xué)生的考前心理穩(wěn)定情況是否整體過關(guān)?
(3)以每個(gè)學(xué)生的心理都培養(yǎng)成為健康狀態(tài)為目標(biāo),學(xué)校決定對(duì)成績(jī)等級(jí)為的16名學(xué)生(其中男生4人,女生12人)進(jìn)行特殊的一對(duì)一幫扶培訓(xùn),從按分層抽樣抽取的4人中任意抽取2名,求恰好抽到1名男生的概率..
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
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