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如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，若點E，F分別是PC，BD的中點。

（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PCD

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）證線面平行找線線平行，本題有G為AD中點，F為BD中點條件，可利用平行四邊形性質.即取PD中點H，AD中點G，易得EFGH為平行四邊形，從而有EF∥GH.寫定理條件時需完整，因為若缺少EF面PAD，，則EF可能在面PAD內，若缺少GH面PAD，則EF與面PAD位置關系不定.（2）證面面垂直關鍵找線面垂直.可由面面垂直性質定理探討，因為側面PAD⊥底面ABCD，CD垂直AD,而AD為兩平面的交線,所以應有CD垂直于平面PAD，這就是本題證明的目標.
試題解析：（1）設PD中點為H，AD中點為G，連結FG，GH，HE
G為AD中點，F為BD中點，GF，
同理EH，
ABCD為矩形，ABCD，GFEH，EFGH為平行四邊形
EF∥GH，又∥面PAD.
（2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD為矩形，
CD⊥AD，CD⊥面PAD
又CD面PCD，面PAD⊥面PCD.
考點：線面平行判定定理，面面垂直判定與性質定理

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A—BCC1B1中，等邊三角形ABC所在平面與正方形BCC1B1所在平面互相垂直，D為CC1的中點．

(1)求證：BD⊥AB1；
(2)求二面角B—AD—B1的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面

（1）證明：；
（2）若，求二面角余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖①，已知ABC是邊長為l的等邊三角形，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，將ABF沿AF折起，得到如圖②所示的三棱錐A-BCF，其中BC=．

(1)證明：DE//平面BCF；
(2)證明：CF平面ABF；
(3)當AD=時，求三棱錐F-DEG的體積

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，，點E在棱PB上.

（1）求證：平面；
（2）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB
所成的角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,E是以AB為直徑的半圓弧上異于A，B的點，矩形ABCD所在平面垂直于該半圓所在的平面，且AB=2AD=2。

(1).求證:EA⊥EC;
(2).設平面ECD與半圓弧的另一個交點為F。
①求證：EF//AB；
②若EF=1，求三棱錐E—ADF的體積

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,,∥,.

（1）求證:；
（2）求直線與平面所成角的正切值；
（3）在上找一點,使得∥平面ADEF,請確定M點的位置,并給出證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，平面PAB,,.M為PB的中點.

（1）求證：PD//平面AMC；
（2）求銳二面角B-AC-M的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直線PA與底面ABCD所成角為60°，點M、N分別是PA、PB的中點．求證：

(1)MN∥平面PCD；
(2)四邊形MNCD是直角梯形；
(3)DN⊥平面PCB.

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