Question

設點P在曲線y=x²上，從原點向A（2，4）移動，如果直線OP，曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁、S₂．
（Ⅰ）當S₁=S₂時，求點P的坐標；
（Ⅱ）當S₁+S₂有最小值時，求點P的坐標和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），
直線OP的方程為y=tx
S₁=∫₀^t（tx-x²）dx=，S₂=∫_t²（x²-tx）dx=，
因為S₁=S₂，，所以t=，點P的坐標為（，）
S=S₁+S₂==
S^′=t²-2，令S'=0得t²-2=0，t=
因為0＜t＜時，S'＜0；＜t＜2時，S'＞0
所以，當t=時，S_min=，P點的坐標為 （，2）．
分析：（Ⅰ）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S₁為直線OP與曲線y=x²
當x∈（0，t）時所圍面積，所以，S₁=∫₀^t（tx-x²）dx，S2為直線OP與曲線y=x²當x∈（t，2）時所圍面積，所以，
S₂=∫_t²（x²-tx）dx，再根據(jù)S₁=S₂就可求出t值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求當S₁+S₂，化簡后，為t的三次函數(shù)，再利用導數(shù)求最小值，以及相應的x值，就可求出P點坐標為多少時，S₁+S₂有最小值．
點評：本題考查了用定積分求兩曲線所圍圖形面積，以及導數(shù)求最值，做題時應認真分析．