Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x²上，從原點(diǎn)向A（2，4）移動(dòng)，如果直線OP，曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁、S₂．
（Ⅰ）當(dāng)S₁=S₂時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)S₁+S₂有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S₁為直線OP與曲線y=x²
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)所圍面積，所以，S₁=∫₀^t（tx-x²）dx，S2為直線OP與曲線y=x²當(dāng)x∈（t，2）時(shí)所圍面積，所以，
S₂=∫_t²（x²-tx）dx，再根據(jù)S₁=S₂就可求出t值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求當(dāng)S₁+S₂，化簡(jiǎn)后，為t的三次函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值，以及相應(yīng)的x值，就可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，S₁+S₂有最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜2），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t2），
直線OP的方程為y=tx                                 
S₁=∫₀^t（tx-x²）dx=

1

6

t3，S₂=∫_t²（x²-tx）dx=

8

3

-2t+

1

6

t3，
因?yàn)镾₁=S₂，，所以t=

4

3

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

3

，

16

9

）            
S=S₁+S₂=

1

6

t3+

8

3

-2t+

1

6

t3=

1

3

t3-2t+

8

3

  S^′=t²-2，令S'=0得t²-2=0，t=

2

              
 因?yàn)?＜t＜

2

時(shí)，S'＜0；

2

＜t＜2時(shí)，S'＞0                
所以，當(dāng)t=

2

時(shí)，S_min=

8-4 2

3

，P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定積分求兩曲線所圍圖形面積，以及導(dǎo)數(shù)求最值，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析．