Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x²+2上，點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：曲線的圖象在第一象限，要使曲線y=x²+2上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)取得最小值，點(diǎn)P應(yīng)在曲線y=x²+2的第一象限內(nèi)的圖象上，分析可知y=x²+2（x≥0）與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以，求出上點(diǎn)Q到直線y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．
解答：解：由y=x²+2，得：x²=y-2，．
所以，y=x²+2（x≥0）與互為反函數(shù)．
它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)．
P在曲線y=x²+2上，點(diǎn)Q在曲線上，
設(shè)P（x，x²），Q（）
要使|PQ|的距離最小，則P應(yīng)在y=x²+2（x≥0）上，
又P，Q的距離為P或Q中一個(gè)點(diǎn)到y(tǒng)=x的最短距離的兩倍．
以Q點(diǎn)為例，Q點(diǎn)到直線y=x的最短距離
d===．
所以．
則|PQ|的最小值等于．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)，考查了互為反函數(shù)圖象之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把求兩曲線上點(diǎn)的最小距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求一支曲線上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的最小距離問(wèn)題，此題是中檔題．