【題目】解答
(1)集合M={1,2,(m2﹣3m﹣1)+(m2﹣5m﹣6)i},N={3,﹣1},M∩N={3},求實數(shù)m的值.
(2)已知12= ×1×2×3,12+22= ×2×3×5,12+22+32= ×3×4×7,12+22+32+42= ×4×5×9,由此猜想12+22+…+n2(n∈N*)的表達式并用數(shù)學歸納法證明.

【答案】
(1)解:由M={1,2,(m2﹣3m﹣1)+(m2﹣5m﹣6)i},N={3,﹣1},

且M∩N={3},

得(m2﹣3m﹣1)+(m2﹣5m﹣6)i=3,

所以,m2﹣3m﹣1=3且m2﹣5m﹣6=0,

解得m=﹣1;


(2)解:歸納猜想,得12+22+…+n2= (n∈N*);

證明:(1)當n=1時,12= ×1×2×3,猜想成立;

2)假設n=k(k≥1,且k∈N*)時,猜想成立,

即12+22+…+k2= ,

那么當n=k+1時,

12+22+…+k2= +(k+1)2

=

= ,(k∈N*),

所以,當n=k+1時,猜想成立;

由(1)(2)可知,對任意的正整數(shù)n,猜想都成立


【解析】(1)根據(jù)交集的定義列出方程組,解方程組求出m的值;(2)歸納法猜想得出12+22+…+n2= (n∈N*),再用數(shù)學歸納法證明即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解集合的交集運算的相關知識,掌握交集的性質:(1)A∩BA,A∩BB,A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,則AB,反之也成立,以及對數(shù)學歸納法的定義的理解,了解數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法.

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(3)對于(2)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=﹣x﹣2a,若對任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1),求實數(shù)a的值.

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