【題目】對于定義在上的函數,若函數滿足:
①在區(qū)間上單調遞減,②存在常數p,使其值域為,則稱函數是函數的“逼進函數”.
(1)判斷函數是不是函數的“逼進函數”;
(2)求證:函數不是函數,的“逼進函數”
(3)若是函數的“逼進函數”,求a的值.
【答案】(1)見解析; (2)見解析; (3)2.
【解析】
(1)由f(x)﹣g(x),化簡整理,結合反比例函數的單調性和值域,即可判斷;
(2)由指數函數和一次函數的單調性,可得滿足①,說明不滿足②,即可得證;
(3)由新定義,可得y=xax為[0,+∞)的減函數,求得導數,由不等式恒成立思想,可得a的范圍;再由值域為(0,1],結合不等式恒成立思想可得a的范圍,即可得到a的值.
(1) ,
可得在[0,+∞)遞減,且,
,可得存在,函數y的值域為,
則函數是函數,的“逼進函數”;
(2)證明:,
由,在[0,+∞)遞減,
則函數在[0,+∞)遞減,
則函數在[0,+∞)的最大值為1;
由時,,時,,
則函數在[0,+∞)的值域為(-∞,1],
即有函數不是函數,x∈[0,+∞)的“逼進函數”;
(3)是函數,的“逼進函數”,
可得為[0,+∞)的減函數,
可得導數在[0,+∞)恒成立,
可得,
由x>0時,,
則,即;
又在[0,+∞)的值域為(0,1],
則,
x=0時,顯然成立;
x>0時,,
可得,即.
則a=2.
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【題目】設函數在上有意義,實數和滿足,若在區(qū)間上不存在最小值,則稱在上具有性質.
(1)當,且在區(qū)間上具有性質時,求常數的取值范圍;
(2)已知,且當,,判斷在區(qū)間上是否具有性質,請說明理由:
(3)若對于滿足的任意實數和,在上具有性質時,且對任意,當時有:,證明:當時,.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,右頂點為,且過點,圓是以線段為直徑的圓,經過點且傾斜角為的直線與圓相切.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交于兩點,且滿足?若存在,請求出直線的方程,若不存在,請說明理由.
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【題目】經過多年的運作,“雙十一”搶購活動已經演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2018年“雙十一”網購狂歡節(jié),某廠家擬投入適當的廣告費,對網上所售產品進行促銷.經調查測算,該促銷產品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足(其中,a為正常數).已知生產該產品還需投入成本萬元(不含促銷費用),每一件產品的銷售價格定為元,假定廠家的生產能力完全能滿足市場的銷售需求.
(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數;
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?并求出最大利潤的值.
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【題目】已知橢圓的離心率,且經過點,,,,為橢圓的四個頂點(如圖),直線過右頂點且垂直于軸.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)為上一點(軸上方),直線,分別交橢圓于,兩點,若,求點的坐標.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知是曲線:上的動點,將繞點順時針旋轉得到,設點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,點,射線與曲線,分別相交于異于極點的兩點,求的面積.
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【題目】已知,,順次是橢圓:的右頂點、上頂點和下頂點,橢圓的離心率,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率的直線過點,直線與橢圓交于,兩點,試判斷:以為直徑的圓是否經過點,并證明你的結論.
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【題目】為響應綠色出行,某市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標準由兩部分組成:①根據行駛里程數按1元/公里計費;②行駛時間不超過分時,按元/分計費;超過分時,超出部分按元/分計費.已知王先生家離上班地點公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素,每次路上開車花費的時間 (分)是一個隨機變量.現統計了次路上開車花費時間,在各時間段內的頻數分布情況如下表所示:
時間(分) | ||||
頻數 |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分.(1)寫出王先生一次租車費用(元)與用車時間(分)的函數關系式;(2)若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”,設表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數,求的分布列和期望.
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