Question

【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

（Ⅱ）求曲線上的動點到直線距離的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）化簡直線的極坐標方程為，代入互化公式，即可求得直線的直角坐標方程，由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可求得得曲線的普通方程；

（Ⅱ）設點的坐標為，利用點到直線的距離公式，結合三角函數(shù)的性質，即可求解.

（Ⅰ）由直線的極坐標方程為，可得，

將，代入上式，可得直線的直角坐標方程為，

由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得（為參數(shù)），

平方相加，可得曲線的普通方程為.

（Ⅱ）設點的坐標為，

則點到直線：的距離為（其中）.

當時，取最大值，且的最大值為.