Question

【題目】已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數(shù)r∈N；
（1）求證：an+2﹣an是一個(gè)定值；
（2）若數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列（存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意n∈N* ， 都有an+T=an成立，則稱{an}為周期數(shù)列，T為它的一個(gè)周期，求該數(shù)列的最小周期；
（3）若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列，cn=23n﹣1（n∈N*），問(wèn)：數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不是，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵rSn=anan+1﹣1，①

∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②

②﹣①，得：ran+1=an+1（an+2﹣an），

∵an＞0，∴an+2﹣an=r

（2）解：當(dāng)n=1時(shí)，ra=aa2﹣1，∴a2= ，

根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，…．

當(dāng)r＞0時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列，

∴r=0時(shí)，數(shù)列寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：a， ，a， ，…．

所以當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，該數(shù)列的周期是2

（3）解：因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列，a+a+r=2（r+ ），

化簡(jiǎn)2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理數(shù)．

設(shè) =k，是一個(gè)完全平方數(shù)，

則r2+16=k2，r，k均是非負(fù)整數(shù)r=0時(shí)，a=1，an=1，Sn=n．

r≠0時(shí)（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8組，

其中只有 ，符合要求，

此時(shí)a=2，an= ，Sn= ，

∵cn=23n﹣1（n∈N*），an=1時(shí)，不符合，舍去．

an= 時(shí)，若23n﹣1= ，則：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2時(shí)，k= ，不是整數(shù)，

因此數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)不都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)

【解析】（1）由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1（an+2﹣an），由此能夠證明an+2﹣an為定值．（2）當(dāng)n=1時(shí)，ra=aa2﹣1，故a2= ，根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由r＞0和r=0兩種情況進(jìn)行討論，能夠求出該數(shù)列的周期．（3）因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列，所以a+a=r=2（r+ ），化簡(jiǎn)2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理數(shù)，由此入手進(jìn)行合理猜想，能夠求出Sn ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．