【題目】如果對一切實數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2 ]
D.[﹣3,3]
【答案】D
【解析】解:實數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立, 令f(y)= + ,
則asinx+1﹣sin2x≤f(y)min ,
當y>0時,f(y)= + ≥2 =3(當且僅當y=6時取“=”),f(y)min=3;
當y<0時,f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(當且僅當y=﹣6時取“=”),f(y)max=﹣3,f(y)min不存在;
綜上所述,f(y)min=3.
所以,asinx+1﹣sin2x≤3,即asinx﹣sin2x≤2恒成立.
① 若sinx>0,a≤sinx+ 恒成立,令sinx=t,則0<t≤1,再令g(t)=t+ (0<t≤1),則a≤g(t)min .
由于g′(t)=1﹣ <0,
所以,g(t)=t+ 在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,
因此,g(t)min=g(1)=3,
所以a≤3;
②若sinx<0,則a≥sinx+ 恒成立,同理可得a≥﹣3;
③若sinx=0,0≤2恒成立,故a∈R;
綜合①②③,﹣3≤a≤3.
故選:D.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=3且(a3﹣1)是(a2﹣1)與a4的等比中項.
(1)求an;
(2)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn , bn= ,Tn=﹣b1+b2+b3+…+(﹣1)nbn , 求Tn .
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【題目】將函數(shù) 圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ,縱坐標不變,再向右平移 個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則下列說法正確的是( )
A.函數(shù)g(x)的一條對稱軸是
B.函數(shù)g(x)的一個對稱中心是
C.函數(shù)g(x)的一條對稱軸是
D.函數(shù)g(x)的一個對稱中心是
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【題目】設函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
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【題目】在平面直角坐標系xoy中,過橢圓 右焦點的直線 交橢圓C于M,N兩點,P為M,N的中點,且直線OP的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設另一直線l與橢圓C交于A,B兩點,原點O到直線l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.
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【題目】有以下命題:
①若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(x)的值域為{0};
②若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(|x|)=f(x);
③若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則f(x)不存在反函數(shù);
④若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f﹣1(x),且f﹣1(x)與f(x)不完全相同,則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點必在直線y=x上;
其中真命題的序號是 . (寫出所有真命題的序號)
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【題目】已知無窮數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),其前n項和為Sn , 且滿足:a1=a,rSn=anan+1﹣1,其中a≠1,常數(shù)r∈N;
(1)求證:an+2﹣an是一個定值;
(2)若數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對任意n∈N* , 都有an+T=an成立,則稱{an}為周期數(shù)列,T為它的一個周期,求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列{an}是各項均為有理數(shù)的等差數(shù)列,cn=23n﹣1(n∈N*),問:數(shù)列{cn}中的所有項是否都是數(shù)列{an}中的項?若是,請說明理由,若不是,請舉出反例.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】楊輝三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623——1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的,比楊輝要遲年,比賈憲遲年。如圖的表在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了,這又是我國數(shù)學史上的一個偉大成就。如圖所示,在“楊輝三角”中,從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:,則此數(shù)列前項和為________.
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