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【題目】在三棱錐ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是邊長為2的正三角形,側棱AA1⊥底面ABC,AA1= ,P、Q分別是AB、AC上的點,且PQ∥BC.

(1)若平面A1PQ與平面A1B1C1相交于直線l,求證:l∥B1C1;
(2)當平面A1PQ⊥平面PQC1B1時,確定點P的位置并說明理由.S.

【答案】
(1)證明:∵PQ∥BC∥B1C1,B1C1面A1B1C1,PQ面 A1B1C1

∴PQ∥面A1B1C1;

∵面A1PQ∩面A1B1C1=l,∴PQ∥l,

∴l(xiāng)∥B1C1;


(2)證明:P為AB的中點時,平面A1PQ⊥面PQC1B1

證明如下:作PQ的中點M,B1C1的中點N,連接A1M,MN,A1N,

∵PQ∥BC,AP=AQ,進而A1Q=A1P,∴A1M⊥PQ,

∵平面A1PQ⊥面PQC1B1,平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ,

∴A1M⊥面PQC1B1,而MN面PQC1B1,

∴A1M⊥MN,即△A1MN為直角三角形;

連接AM并延長交BC于G,顯然G是BC的中點,

設AP=x,則PB=2﹣x,則由 = ,可得 = ,解得AM= x,

在Rt△AA1M中, = +AM2= + x2

同理MG=AG﹣AM= x,

在Rt△MGN中,MN2=MG2+GN2= + = ﹣3x+ x2

∴在Rt△A1MN中, = +MN2,

即3= + x2+ ﹣3x+ x2,

解得x=1,即AP=1,此時P為AB的中點


【解析】(1)利用線面平行的性質證明l∥B1C1;(2)作PQ的中點M,B1C1的中點N,連接A1M,MN,A1N,利用線面垂直的判定證明A1M⊥PQ,A1M⊥MN,即可平面A1PQ⊥面PQB1C1 , 再利用余弦定理即可確定P點的位置.
【考點精析】通過靈活運用平面的基本性質及推論和平面與平面垂直的性質,掌握如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內;過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面;如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線;兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直即可以解答此題.

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