【題目】、、為集合的任意三個元子集,且,.問:是否存在,,使得其中某兩個數(shù)的和等于第三個數(shù)?

【答案】見解析

【解析】

用反證法證明:存在,,使其中某兩個數(shù)的和等于第三個數(shù).

假設存在某種分拆,,

使得、三個元集中不存在這樣的三個元素.

,,,

其中,,.

,則,,而.

考慮集合,記.

為正整數(shù).

(1)若,則,矛盾.

(2)若,考慮個數(shù).

對每個,顯然.

又若存在某個,則,,矛盾.

于是,所有的,而,

此時,集合中至少有個元素,也得矛盾.

(3)若,在數(shù)列中,自左至右設最先取到的項為.

考慮數(shù),其顯然均在 集合中.

由于,而、分 別為集合、的元素,故由假設知.

又據(jù),知,而,由假設知.

因此,只有.

再由,得;由,得.

因此,只有.

由于集合中的兩個元素的差為,

故它們?yōu)榧?/span>中相鄰的兩個元素,并且它們分別小于.

因此,在集合中應當排在先前的一對 元素、之前,

這與、為集合中 最先使得其差為的項的假設矛盾.

于是,結論得證.

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