【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中點(diǎn).
(1)求證:AE⊥B1C;
(2)求異面直線AE與A1C所成的角的大。
(3)若G為C1C中點(diǎn),求二面角C-AG-E的正切值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)由BB1⊥面ABC及線面垂直的性質(zhì)可得AE⊥BB1,由AC=AB,E是BC的中點(diǎn),及等腰三角形三線合一,可得AE⊥BC,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得AE⊥面BB1C1C,進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到AE⊥B1C;
(2)取B1C1的中點(diǎn)E1,連A1E1,E1C,根據(jù)異面直線夾角定義可得,∠E1A1C是異面直線A與A1C所成的角,設(shè)AC=AB=AA1=2,解三角形E1A1C可得答案.
(3)連接AG,設(shè)P是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC,由直三棱錐的側(cè)面與底面垂直,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理,可得EP⊥平面ACC1A1,進(jìn)而由二面角的定義可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.
證明:(1)因?yàn)?/span>BB1⊥面ABC,AE面ABC,所以AE⊥BB1
由AB=AC,E為BC的中點(diǎn)得到AE⊥BC
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C
∴AE⊥B1C
解:(2)取B1C1的中點(diǎn)E1,連A1E1,E1C,
則AE∥A1E1,
∴∠E1A1C是異面直線AE與A1C所成的角.
設(shè)AC=AB=AA1=2,則由∠BAC=90°,
可得A1E1=AE=,A1C=2,E1C1=EC=BC=
∴E1C==
∵在△E1A1C中,cos∠E1A1C==
所以異面直線AE與A1C所成的角為.
(3)連接AG,設(shè)P是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG.
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.
由EP=1,AP=1,PQ=,得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著城市化進(jìn)程日益加快,勞動(dòng)力日益向城市流動(dòng),某市為抽查該市內(nèi)工廠的生產(chǎn)能力,隨機(jī)抽取某個(gè)人數(shù)為1000人的工廠,其中有750人為高級(jí)工,250人為初級(jí)工,擬采用分層抽樣的方法從本廠抽取100名工人,來抽查工人的生產(chǎn)能力,初級(jí)工和高級(jí)工的抽查結(jié)果分組情況如表1和表2.
表1:
生產(chǎn)能力分組 | |||||
人數(shù) | 4 | 8 | 5 | 3 |
表2:
生產(chǎn)能力分組 | ||||
人數(shù) | 6 | 36 | 18 |
(1)計(jì)算,,完成頻率分直方圖:
圖1:初級(jí)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖 圖2:高級(jí)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖
(2)初級(jí)工和高級(jí)工各抽取多少人?
(3)分別估計(jì)兩類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù),并估計(jì)該工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù).(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,B為AC的中點(diǎn),分別以AB,AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓,M,N分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)不含端點(diǎn)A,B,,且,則的最大值為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)令,是否存在實(shí)數(shù),當(dāng)(是自然常數(shù))時(shí),函數(shù)的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(3)當(dāng)時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春節(jié)期間,由于高速公路繼續(xù)實(shí)行小型車免費(fèi),因此高速公路上車輛較多,某調(diào)查公司在某城市從七座以下小型汽車中按進(jìn)入服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如圖的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)此調(diào)查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?
(Ⅱ)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的估計(jì)值;
(Ⅲ)若從車速在[60,70)的車輛中任抽取2輛,求至少有一輛車的車速在[65,70)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).下列命題:( )
①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱; ②函數(shù)是周期函數(shù);
③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管,隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(1)求圖中x的值;
(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2,若在滿意度評分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談,求2人均為男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M(4,﹣2),N(2,4).
(1)求MN的垂直平分線方程;
(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),且點(diǎn)M和點(diǎn)N到直線l的距離相等,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,g(x)=(a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x)的定義域;
(2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍.
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