【題目】在正四棱柱中，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若為上的動(dòng)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值是，求的長.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，（1）求出平面的法向量，利用證明即可；

（2）利用即可證明；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1，)，由線面角公式可求出，即可利用向量的模求的長.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)

（1）證明：設(shè)平面的法向量(，，)，

(1，1，0)，(0，1，1)

由，即，

取，得(1，-1，1)，

又(-1，1，2)，

因?yàn)?/span>，所以，

所以平面.

（2）證明：由（1）可知(1，-1，1)，

(-1，1，-1)，，所以，

所以平面.

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1，)，

(0，1，)，

設(shè)直線與平面所成角為，則

，

解得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1，1)，(1，1，1)，，

所以的長為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若實(shí)數(shù)滿足，①的最大值為________；②若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”.為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報(bào)名人數(shù)較多，需對報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：

（1）下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，將他在測試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為，求；

（2）社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.

（i）求，，（直接寫出結(jié)果即可）；

（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)將的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則（ ）

A.圖象與對稱B.在單調(diào)遞增

C.在有且僅有3個(gè)解D.在有僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓：上一點(diǎn)，以點(diǎn)及橢圓的左、右焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過作斜率存在且互相垂直的直線，，是與兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，是與兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，求△面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，平面CDEF⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝45°，四邊形CDEF為直角梯形，EF∥DC，ED⊥CD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD.

（1）求證：AD⊥BF；

（2）若線段CF上存在一點(diǎn)M，滿足AE∥平面BDM，求的值；

（3）若a＝1，求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表：

x

1

2

3

4

y

1

m

n

4

如表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5，若某同學(xué)對m賦了三個(gè)值分別為1.5，2，2.5，得到三條線性回歸直線方程分別為，，，對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為，，，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

參考公式：線性回歸方程中，其中，．相關(guān)系數(shù)．

A.三條回歸直線有共同交點(diǎn)B.相關(guān)系數(shù)中，最大

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，定點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)， 為的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)為，求的長.

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