Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣1，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求 的值；
（3）如果 ，直線(xiàn)l是否過(guò)一定點(diǎn)，若過(guò)一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)一定點(diǎn)，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣1，

所以 ，p=2．

∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x

（2）

解：設(shè)l：my=x﹣1，與y2=4x聯(lián)立，得y2﹣4my﹣4=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

∴

（3）

解：假設(shè)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，設(shè)l：my=x+n，

，得y2﹣4my+4n=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=4n．

由 ，解得n=﹣2，

∴l(xiāng)：my=x﹣2過(guò)定點(diǎn)（2，0）

【解析】（1）由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程可知： ，p=2．即可求得拋物線(xiàn)方程；（2）設(shè)l：my=x﹣1，代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得 的值；（3）設(shè)直線(xiàn)l方程，my=x+n，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得n的值，可知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．