【題目】如圖,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點O、E分別是A1C1、A1B1的中點,A1C與AC1交于點F,AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2.
(1)求證:EF∥平面BB1C1C;
(2)求A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出OE∥B1C1,OF∥C1C,,從而平面OEF∥平面BB1C1C,由此能證明EF∥平面BB1C1C;
(2)設(shè)點C1到平面AA1B1的距離為d,由,求出由此能求出A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值.
證明:(1)∵O,E分別是A1C1、A1B1的中點,A1C與AC1交于點F,
∴OEB1C1,OFC1C,
又平面BB1C1C,平面BB1C1C,
平面BB1C1C,
同理平面BB1C1C,
又,平面OEF,
∴平面OEF平面BB1C1C,
∵EF平面OEF,
∴EF平面BB1C1C.
(2)設(shè)點C1到平面AA1B1的距離為d,
∵,
∴,
AO,OB1,
AB12,
∵△AA1B1中,A1B1=AB1=2,AA=2,
邊AA上的高為:,
∴,
∴,
解得d,
設(shè)A1C1與平面AA1B1所成角為θ,
∴A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值為:
sinθ.
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【題目】如圖,三棱柱中, 是正三角形,四邊形是矩形,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若點在線段上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時,求實數(shù)的值.
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點的直線交橢圓于兩點,為橢圓的左焦點,若,求直線的方程.
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【題目】斐波那契數(shù)列()又稱黃金分割數(shù)列,因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契()以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”.在數(shù)學(xué)上,斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列滿足:,,現(xiàn)從數(shù)列的前2024項中隨機抽取1項,能被3整除的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】由中央電視臺綜合頻道()和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事,分享他們對于生活和生命的感悟,給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng),討論青年們的人生問題,同時也在討論青春中國的社會問題,受到青年觀眾的喜愛,為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度,電視臺隨機調(diào)查了、兩個地區(qū)的100名觀眾,得到如下的列聯(lián)表,已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機抽取1名,該觀眾是地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為0.35.
非常滿意 | 滿意 | 合計 | |
30 | 15 | ||
合計 |
(1)現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“非常滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)完成上述表格,并根據(jù)表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.
(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率,從地區(qū)隨機抽取3人,設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為,求的分布列和期望.
附:參考公式:.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若直線且曲線在A處的切線與在B處的切線相互平行,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點且若不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】一個小商店從一家食品有限公司購進10袋白糖,每袋白糖的標準重量是500g,為了了解這些白糖的實際重量,稱量出各袋白糖的實際重量(單位:g)如下:503,502,496,499,491,498,506,504,501,510
(1)求這10袋白糖的平均重量和標準差s;
(2)從這10袋中任取2袋白糖,那么其中恰有一袋的重量不在(s,s)的概率是多少?(附:5.08,16.06,5.09,16.09)
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【題目】已知焦點在x軸上的橢圓E經(jīng)過點,且焦距為.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)直線與橢圓E交于不同的兩點A、B,線段AB的垂直平分線交y軸于點M,若,求m的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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