【題目】選修4— 4:坐標系與參數(shù)方程
設極坐標系與直角坐標系有相同的長度單位,原點為極點,軸正半軸為極軸,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),直線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求曲線的普通方程和直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設點,若直線與曲線相交于兩點,且,求的值﹒
【答案】(Ⅰ)曲線的普通方程為,直線的參數(shù)方程(是參數(shù));(Ⅱ).
【解析】
(I)利用,消去,求得曲線的普通方程.先求得直線的直角坐標方程,然后利用直線參數(shù)方程的知識,寫出直線的參數(shù)方程.(II)將直線參數(shù)方程代入切線的普通方程,寫出韋達定理,利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,列方程,解方程求得的值.
解:(Ⅰ)由題可得,曲線的普通方程為.
直線的直角坐標方程為,即
由于直線過點,傾斜角為,
故直線的參數(shù)方程(是參數(shù))
(直線的參數(shù)方程的結果不是唯一的.)
(Ⅱ)設兩點對應的參數(shù)分別為,將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程并化簡得:.
所以, 解得.
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【題目】2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標是以我國古代數(shù)學家的弦圖為基礎設計的.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).設其中直角三角形中較小的銳角為,且,如果在弦圖內隨機拋擲1000米黑芝麻(大小差別忽略不計),則落在小正方形內的黑芝麻數(shù)大約為( )
A. 350B. 300C. 250D. 200
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【題目】如圖1,在平行四邊形中,,,點是的中點,點是的中點,分別沿.將和折起,使得平面平面(點在平面的同側),連接,如圖2所示.
(1)求證:;
(2)當,且平面平面時,求三棱錐的體積.
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【題目】已知橢圓C: 的右焦點為F(2,0),過點F的直線交橢圓于M、N兩點且MN的中點坐標為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l不經(jīng)過點P(0,b)且與C相交于A,B兩點,若直線PA與直線PB的斜率的和為1,試判斷直線 l是否經(jīng)過定點,若經(jīng)過定點,請求出該定點;若不經(jīng)過定點,請給出理由.
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【題目】已知過拋物線C:y2=8x的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點,若以AB為直徑的圓過點M(﹣2,2),則k=( 。
A.B.C.D.2
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【題目】“水是生命之源”,但是據(jù)科學界統(tǒng)計可用淡水資源僅占地球儲水總量的,全世界近人口受到水荒的威脅.某市為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸):一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設該市有60萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于2.5噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水不按議價收費,估計的值,并說明理由.
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【題目】如圖,在四邊形中,,,點在上,且,,現(xiàn)將沿折起,使點到達點的位置,且與平面所成的角為,
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù) (為常數(shù))
(Ⅰ)若是定義域上的單調函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在兩個極值點,且,求的最大值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,,平面平面,點為棱的中點.
(Ⅰ)在棱上是否存在一點,使得平面,并說明理由;
(Ⅱ)當二面角的余弦值為時,求直線與平面所成的角.
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