Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣ ax2 ， a∈R，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，討論g（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）= x3﹣x2，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）= ×27﹣9=0，

∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0

（2）

函數(shù)g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，

∴g′（x）=x2﹣ax+cosx﹣（x﹣a）sinx﹣cosx=x2﹣ax+（x﹣a）sinx=（x﹣a）（x+sinx），

令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，

當(dāng)x＜0時(shí)，x+sinx＜0，當(dāng)x≥0，x+sinx≥0，

①若a＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x＞a時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為g（a）=﹣ a3﹣sina

當(dāng)x=0時(shí)，有極大值，極大值為g（0）=﹣a，

②若a＜0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x＜a時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為g（a）=﹣ a3﹣sina

當(dāng)x=0時(shí)，有極小值，極小值為g（0）=﹣a

③當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=x（x+sinx），

當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，

∴g（x）在R上單調(diào)遞增，無極值．

【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程，（2）先求導(dǎo)，再分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用基本求導(dǎo)法則和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．