【題目】已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N+),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1 , S11=11b4 .
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和(n∈N+).
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.
又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以,bn=2n .
由b3=a4﹣2a1 , 可得3d﹣a1=8①.
由S11=11b4 , 可得a1+5d=16②,
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.
所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n﹣2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n .
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和為Tn ,
由a2n=6n﹣2,b2n﹣1= 4n , 有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n ,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n ,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1 ,
上述兩式相減,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1
= =﹣(3n﹣2)4n+1﹣8
得Tn= .
所以,數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和為 .
【解析】(Ⅰ)設(shè)出公差與公比,利用已知條件求出公差與公比,然后求解{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)是否存在正整數(shù)n,使得 ?若存在,求出n值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,并說明曲線是什么圖形;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求直線的方程;
(3)設(shè)是直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,設(shè),求證:過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】校運(yùn)動(dòng)會(huì)高二理三個(gè)班級(jí)的3名同學(xué)報(bào)名參加鉛球、跳高、三級(jí)跳遠(yuǎn)3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,每名同學(xué)都可以從3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇一個(gè),且每個(gè)人的選擇相互獨(dú)立.
(1)求3名同學(xué)恰好選擇了2個(gè)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率;
(Ⅱ)設(shè)選擇跳高的人數(shù)為試求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞
B.3盞
C.5盞
D.9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓: ,點(diǎn).
(1)求經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當(dāng)n∈N*時(shí),
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x∈[-,],
(1)求函數(shù)y=cosx的值域;
(2)求函數(shù)y=-3sin2x-4cosx+4的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)、、,若成立,則稱、具有“性質(zhì)”.
(1)試問:①,0是否具有“性質(zhì)2”;
②(),0是否具有“性質(zhì)4”;
(2)若存在及,使得成立,且
,1具有“性質(zhì)2”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),,,為2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù),點(diǎn)()
均不在函數(shù)的圖象上,是否存在,且,使得、
具有“性質(zhì)2018”,請(qǐng)說明理由.
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