【題目】已知函數(shù)fx)=axcosx,a≠0

1)若函數(shù)fx)為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;

2)若x∈[0,2π],求:當(dāng)a時(shí),函數(shù)fx)僅有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)(2)詳見解析

【解析】

1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)恒成立,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí),恒成立;(2)根據(jù)(1)可知當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知只有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),可得函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,根據(jù)單調(diào)性可判斷,是極大值,是極小值,因?yàn)?/span>,若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),只需滿足,即可求得的取值范圍.

1)解:由,可得,.

因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí),上的單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)時(shí),上的單調(diào)減函數(shù).

綜上,若函數(shù)為單調(diào)函數(shù),則.

2)證明:當(dāng)時(shí),由(1)可知上的單調(diào)增函數(shù).

,

所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),滿足題意.

當(dāng)時(shí),

,則.由于,所以,

從而必有,,使,且.

不妨設(shè),且有,

所以當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);

當(dāng)時(shí),,為減函數(shù);

當(dāng)時(shí),,為增函數(shù).

從而函數(shù)的極大值為,極小值為.

因?yàn)?/span>,所以,從而極大值.

,

要使函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),則極小值,

所以,即.

,,

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了檢驗(yàn)“喜歡玩手機(jī)游戲與認(rèn)為作業(yè)多”是否有關(guān)系,某班主任對(duì)班級(jí)的30名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到一個(gè)列聯(lián)表:

認(rèn)為作業(yè)多

認(rèn)為作業(yè)不多

合計(jì)

喜歡玩手機(jī)游戲

18

2

不喜歡玩手機(jī)游戲

6

合計(jì)

30

1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(在答題卡上直接填寫結(jié)果,不需要寫求解過程);

2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“喜歡玩手機(jī)游戲”與“認(rèn)為作業(yè)多”有關(guān)系?

3)若從不喜歡玩手機(jī)游戲的人中隨機(jī)抽取3人,則至少2人認(rèn)為作業(yè)不多的概率是多少?

參考公式及參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)概率表

P

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.83

計(jì)算公式:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.

)證明:BD⊥PC;

)若AD=4BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn), 兩點(diǎn)都在拋物線上,且.

(1)求證:直線必過一定點(diǎn);

(2)求證: 面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司結(jié)合公司的實(shí)際情況針對(duì)調(diào)休安排展開問卷調(diào)查,提出了A,B,C三種放假方案,調(diào)查結(jié)果如下:

1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人,已知從支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;

2)在支持B方案的人中,用分層抽樣的方法抽取5人看作一個(gè)總體,從這5人中任意選取2人,求恰好有1人在35歲以上(含35歲)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市調(diào)研考試后,某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中優(yōu)秀的人數(shù)是30人.

(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

甲班

10

乙班

30

合計(jì)

110

(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”;

參考公式與臨界值表 .

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)團(tuán)委組織了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利73周年的知識(shí)競(jìng)賽,從參加競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段,后,畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:

1)求第四組的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;

2)估計(jì)這次競(jìng)賽的及格率(60分及以上為及格)和平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),對(duì)于任意,總有.若對(duì)于任意,存在,使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

A. B.

C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)分別有1100人,1000人,為了了解兩個(gè)學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在該地區(qū)一?荚嚨臄(shù)學(xué)成績(jī)情況,采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下:

1)計(jì)算的值;

2)若規(guī)定考試成績(jī)?cè)?/span>為優(yōu)秀,請(qǐng)根據(jù)樣本估計(jì)乙校數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率;

3)若規(guī)定考試成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)為優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,若按是否優(yōu)秀來判斷,是否有的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異.

附:,.

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