【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,APAB=2,BC=2,E,F分別是AD,PC的中點(diǎn).

(1)證明:PC⊥平面BEF;

(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)45°.

【解析】

試題分析:本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、二面角、向量法、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),利用已知的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,得到點(diǎn)的坐標(biāo),從而得到相關(guān)向量的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為0,證明兩直線垂直,再利用線面垂直的判定得到PC⊥平面BEF;第二問(wèn),平面BEF與平面BAP的法向量分別為,利用夾角公式求夾角的余弦,從而確定角的值.

試題解析:(1)證明:如圖,

A為坐標(biāo)原點(diǎn),ABAD,AP所在直線分別為xy,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

∵APAB2,BCAD,四邊形ABCD是矩形,

∴A,B,C,D,P的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,0),D(0,,0),P(0,0,2)

E,F分別是AD,PC的中點(diǎn),∴E(0,0)F(1,,1)

(2,,-2),(1,1)(1,0,1)

=-2420,2020.

∴PC⊥BF,PC⊥EF.BF∩EFF,

∴PC⊥平面BEF.

(2)(1)知平面BEF的一個(gè)法向量n1(2,,-2),平面BAP的一個(gè)法向量n2(0,,0),

∴n1·n28.

設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ

,

∴θ45°.∴平面BEF與平面BAP的夾角為45°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了解高校學(xué)生平均每天使用手機(jī)的時(shí)間長(zhǎng)短是否與性別有關(guān),某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了25 名男生、10名女生進(jìn)行為期一周的跟蹤調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表所示:

平均每天使用手機(jī)小時(shí)

平均每天使用手機(jī)小時(shí)

合計(jì)

男生

15

10

25

女生

3

7

10

合計(jì)

18

17

35

(I) 根據(jù)列聯(lián)表判斷,是否有90%的把握認(rèn)為學(xué)生使用手機(jī)的時(shí)間長(zhǎng)短與性別有關(guān);

(II)在參與調(diào)查的平均每天使用手機(jī)不超過(guò)3小時(shí)的10名男生中,有6人使用國(guó)產(chǎn)手機(jī),從這10名男生中任意選取3人,求這3人中使用國(guó)產(chǎn)手機(jī)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

0.400

0.250

0.150

0.100

0.050

0.025

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

參考公式:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】作出下列函數(shù)的大致圖像,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.

1;(2;(3;(4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若,上恒成立,求的取值范圍;

(2)設(shè)數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:;

(3)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn),,過(guò)線段的中點(diǎn)軸的垂線分別交,于點(diǎn),問(wèn)是否存在點(diǎn),使處的切線與處的切線平行?若存在,求出的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某超市計(jì)劃銷售某種食品,現(xiàn)邀甲、乙兩個(gè)商家進(jìn)場(chǎng)試銷5天.兩個(gè)商家提供的返利方案如下:甲商家每天固定返利60元,且每賣出一件食品商家再返利2元;乙商家無(wú)固定返利,賣出30件以內(nèi)(含30件)的食品,每件食品商家返利4元,超出30件的部分每件返利6元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),兩個(gè)商家的試銷情況莖葉圖如下:

9

8

9

2

8

8

2

2

3

2

1

1

(1)現(xiàn)從甲商家試銷的5天中抽取兩天,求這兩天的銷售量都小于30的概率;

(2)超市擬在甲、乙兩個(gè)商家中選擇一家長(zhǎng)期銷售,如果僅從日平均返利額的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為超市作出選擇,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(其中).

(1)當(dāng)時(shí),判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)k;

(2)在(1)的條件下,記這些零點(diǎn)分別為,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某部門在上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩座地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客,統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間,單位:分鐘)將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按,,,…,分組,制成頻率分布直方圖如圖所示:

1)求a的值;

2)記A表示事件“在上班高峰時(shí)段某乘客在甲站乘車等待時(shí)間少于20分鐘”試估計(jì)A的概率;

3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間左端點(diǎn)值來(lái)估計(jì),記在上班高峰時(shí)段甲、乙兩站各抽取的50名乘客乘車的平均等待時(shí)間分別為,求的值,并直接寫出的大小關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù)=1,2,…,6),如表所示:

試銷單價(jià)(元)

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量(件)

q

84

83

80

75

68

已知

(Ⅰ)求出的值;

(Ⅱ)已知變量具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(件)關(guān)于試銷單價(jià)(元)的線性回歸方程;

(參考公式:線性回歸方程中的最小二乘估計(jì)分別為,)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)a為常數(shù)).

1)求不等式的解集;

2)當(dāng)a0時(shí),若對(duì)于任意的 [3,4]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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