Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過的左焦點的直線，直線被圓：截得的弦長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設的右焦點為，在圓上是否存在點，滿足，若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在點，滿足．

【解析】試題分析：（1）直線與軸的交點為的左焦點，所以，再根據離心率得，即得，（2）先由條件確定點軌跡，為一個圓，再根據兩圓位置關系確定交點個數.

試題解析：解：（Ⅰ）因為直線的方程為： ，

令，得，即．

，又，

， ，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）∵圓心到直線： 的距離為，

又直線： 被圓： 截得的弦長為，

∴由垂徑定理得，

故圓的方程為： ．

設圓上存在點，滿足，即，

且的坐標為，則，

整理得，它表示圓心在，半徑是的圓．

，

故有，即圓與圓沒有公共點．

∴圓上不存在點，滿足．