Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，四邊形是直角梯形，，，.

（Ⅰ）證明：平面.

（Ⅱ）若平面平面，為的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，，結(jié)合已知條件，得四邊形為平行四邊形，進而得為平行四邊形，由線面平行的判定定理得CE∥平面ADF．

（Ⅱ）取CD中點N，以A為原點，AN為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ACH與平面ABEF所成銳二面角的余弦值．

（Ⅰ）取的中點，連接，，如圖所示，因為，四邊形是直角梯形，

得且，所以四邊形為平行四邊形，即且.

又因為四邊形是菱形，所以，進而，得為平行四邊形，

即有，又平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中點，在菱形中，，可得.因為平面平面，

平面平面，平面，，所以平面.

以為坐標原點，AN為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

故，，，，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，則有即

令可得.

易知平面的一個法向量為.

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則,

即所求二面角的余弦值為.