【題目】已知動點到點的距離與點到直線的距離的比值為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)為軌跡與軸正半軸的交點,上是否存在兩點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請說明滿足條件的的個數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1) (2)存在,3個
【解析】
(1)設(shè)動點根據(jù)所給條件列出方程,化簡即可.
(2)由題意可知,直角邊不可能垂直或平行于軸,故可設(shè)所在直線的方程為,不妨設(shè),則直線所在的方程為. 聯(lián)立直線與曲線方程,消元即可求出點的坐標,求出的長,同理可得,再由得到方程,解得.
解:(1)設(shè)動點,則,
所以,
平方并化簡,得.
所以軌跡的方程為.
(2)存在. 理由如下:
由題意可知,直角邊不可能垂直或平行于軸,故可設(shè)所在直線的方程為,不妨設(shè),則直線所在的方程為.
聯(lián)立方程消去,并整理得,
解得,
將代入可得,
所以點的坐標為.
所以.
同理可得,
由,得,
所以,則,解得或.
當斜率時,斜率;當斜率時,斜率;當斜率時,斜率.
綜上所述,符合條件的三角形有3個.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖:
則下面結(jié)論中不正確的是
A. 新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少
B. 新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上
C. 新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍
D. 新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半
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【題目】如圖,已知橢圓 的長軸,長為4,過橢圓的右焦點作斜率為()的直線交橢圓于、兩點,直線,的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,直線,分別與相交于、兩點,設(shè)為線段的中點,求證:.
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【題目】已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為,為其右焦點,若,設(shè),且,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,原點為,橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸,弦的中點為,過且垂直于線段的直線交射線于點.
(Ⅰ)證明:點在定直線上;
(Ⅱ)當最大時,求的面積.
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【題目】某校學(xué)生會開展了一次關(guān)于“垃圾分類”問卷調(diào)查的實踐活動,組織部分學(xué)生干部在幾個大型小區(qū)隨機抽取了共50名居民進行問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)束后,學(xué)生會對問卷結(jié)果進行了統(tǒng)計,并將其中一個問題“是否知道垃圾分類方法(知道或不知道)”的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人數(shù) | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并補全右圖所示的的頻率直方圖;
(2)在被調(diào)查的居民中,若從年齡在的居民中各隨機選取1人參加垃圾分類知識講座,求選中的兩人中僅有一人不知道垃圾分類方法的概率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列{an}滿足:,且a1=1,則稱{an}為一個X數(shù)列.對于一個X數(shù)列{an},若數(shù)列{bn}滿足:b1=1,且,,則稱{bn}為{an}的伴隨數(shù)列.
(Ⅰ)若X數(shù)列{an}中a2=1,a3=0,a4=1,寫出其伴隨數(shù)列{bn}中b2,b3,b4的值;
(Ⅱ)若{an}為一個X數(shù)列,{bn}為{an}的伴隨數(shù)列,證明:“{an}為常數(shù)列”是“{bn}為等比數(shù)列”的充要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有極值點,有兩個零點,且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】2019年春節(jié)期間,我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù),統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點,它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示,其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作,10:00~10:20記作,10:20~10:40記作.例如:10點04分,記作時刻64.
(1)估計這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)為了對數(shù)據(jù)進行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機抽取4輛,設(shè)抽到的4輛車中,在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布,其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點,估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).
參考數(shù)據(jù):若,則,,.
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