Question

【題目】若數(shù)列{an}滿足：，且a1=1，則稱{an}為一個X數(shù)列．對于一個X數(shù)列{an}，若數(shù)列{bn}滿足：b1=1，且，，則稱{bn}為{an}的伴隨數(shù)列．

（Ⅰ）若X數(shù)列{an}中a2=1，a3=0，a4=1，寫出其伴隨數(shù)列{bn}中b2，b3，b4的值；

（Ⅱ）若{an}為一個X數(shù)列，{bn}為{an}的伴隨數(shù)列，證明：“{an}為常數(shù)列”是“{bn}為等比數(shù)列”的充要條件.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知與數(shù)列遞推式求b2，b3，b4的值即可；

（Ⅱ）充分性，由X數(shù)列{an}為常數(shù)列，推出即可；必要性，利用反證法證明即可.

（Ⅰ），，；

（Ⅱ）充分性：若X數(shù)列{an}為常數(shù)列，∵a1=1，∴，

∴，又∵b1=1≠0，∴其伴隨數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列；

必要性：假設(shè)數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，而數(shù)列{an}不為常數(shù)列，∴數(shù)列{an}中存在等于0的項，設(shè)第一個等于0的項為ak，其中k＞1，k∈N*，

∴，得等比數(shù)列{bn}的公比．

又，得等比數(shù)列{bn}的公比，與q=1矛盾．∴假設(shè)不成立．

∴當(dāng)數(shù)列{bn}為等比數(shù)列時，數(shù)列{an}為常數(shù)列．

綜上“{an}為常數(shù)列”是“{bn}為等比數(shù)列”的充要條件.