Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)變換到這一平面上的一點(diǎn).
（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；
（2） 若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn). 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

Answer 1

略

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①. 又由條件得…②，故由①、②可解得，. 即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和. 對于變換：，當(dāng)時(shí)，可得 設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為； 又即的坐標(biāo)為. （2）設(shè)是橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)， 有，由點(diǎn)，即，得：

      ，因而橢圓的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.
（3）由（2）可知，曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)需滿足.
情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（），
則有.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140328602495.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)必定存在，且一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
情形二：設(shè)雙曲線方程為（），
則有,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140328743394.gif" style="vertical-align:middle;" />，故當(dāng)時(shí)，方程無解；
當(dāng)時(shí)，故要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).
進(jìn)一步分類可知，
(i) 當(dāng)，時(shí)，.
即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，需滿足時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).
(ii) 當(dāng)，時(shí)，.
即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，需滿足時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).