Question

【題目】直線l：x﹣ty+1＝0（t＞0）和拋物線C：y2＝4x相交于不同兩點A、B，設AB的中點為M，拋物線C的焦點為F，以MF為直徑的圓與直線l相交另一點為N，且滿足|MN||NF|，則直線l的方程為_____.

Answer 1

【答案】xy+1＝0

【解析】

求得拋物線的焦點F，聯立直線l和拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得M的坐標，設N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，結合兩直線垂直的條件，可得t，y0的關系式，再由兩點的距離公式，化簡整理可得t，可得所求直線方程.

y2＝4x的焦點為F（1，0），聯立x﹣ty+1＝0與y2＝4x，可得y2﹣4ty+4＝0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y1+y2＝4t，則中點M（2t2﹣1，2t），

設N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，可得t，即有y0，

由|MN||NF|可得，

即為，

結合，整理可得t6＝27，解得t，

可得直線l的方程為xy+1＝0.

故答案為：xy+1＝0.