Question

【題目】如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸的拋物線上的定點(diǎn)作斜率分別為的直線，分別交拋物線于兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；

（2）若，且的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得；（2）直線的方程為，，由與聯(lián)立，消去，可得，然后求得，，再由可求得的關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線距離公式求得邊上高，由有面積可得值，從而得直線方程．

試題解析：（1）拋物線的方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，

∴拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．

（2）∵兩點(diǎn)在拋物線上，∴直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由，∴，，

，∴

，，∴，同理，．

由，得

∴，∴，∴，∴，

由得或．

又，點(diǎn)到直線的距離．

，

又，∴，解得或，都滿足．

當(dāng)時(shí)，，則直線的方程為：；

當(dāng)時(shí)，，則直線的方程為：．