Question

【題目】已知f（x）= ．
（1）證明：f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）= = =1﹣ ．

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是定義域R內(nèi)的增函數(shù)

（2）當(dāng)x→﹣∞時(shí)，102x→0， →2，f（x）→﹣1，

當(dāng)x→+∞時(shí)，102x→+∞， →0，f（x）→1，

故f（x）的值域?yàn)椋ī?，1）

【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R內(nèi)的增函數(shù)；（2）求出函數(shù)在x→﹣∞時(shí)和x→+∞時(shí)的極限值，進(jìn)而可得函數(shù)的值域．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的值域和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．