【題目】如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且,,
(1)求證:平面平面;
(2)設是上的動點,求與平面所成最大角的正切值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)
【解析】
試題分析:(1)要證面面垂直,就要證線面垂直,也即要證線線垂直,考慮到是等腰直角三角形,因此取中點,則有,同時是等邊三角形,因此有,從而是二面角的平面角,由己知計算線段的長,由勾股定理知,這樣就不需要再證明線面垂直了,根據(jù)直二面角的定義得面面垂直,這也是證面面垂直的另一種方法;(2)對于這種運動問題,一種方法首先作出直線與平面所成的角,由(1)知為直線與平面所成的角,要使這個角最大,則最小,因此,然后計算可得;第二種方法,以為原點,所在的直線為軸,建立空間直角坐標系,,可求出點坐標,是平面的一個法向量,設與平面所成的角為,則,計算后它是的函數(shù),函數(shù)值最大時最大;(3)在(2)建立空間直角坐標系的基礎上,求得平面與平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.
試題解析:(1)證明:取中點,連結(jié),由,,知為等腰直角三角形,
∴,,由,,知為等邊三角形,
∴,由得,∴
又,∴平面,又平面,∴平面平面
(2)解法1:如圖,連結(jié),由(1)知,
∴平面,為與平面所成的角,
在中,∵,
要最大時,只需取最小值,
而的最小值即點到的距離,這時,,
故當最大時,,即與平面所成最大角的正切值為.
解法2:由(1)知平面,,
如圖所示,以為原點,所在的直線為軸,建立空間直角坐標系,則,,,
設點的坐標為,,
則,∴,即,
則,為平面的法向量,設與平面所成的角為,
則
當時,取最大值,,又,此時最大,,
即與平面所成最大角的正切值為.
(3)由(2)得,,設平面的法向量為,
則,取,則,即,
平面的一個法向量為,
設二面角大小為,易知其為銳角,
所以.
所以二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥底面ABCD,E、F分別為AB、PC的中點.
(Ⅰ)求證:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=2,試問在線段EF上是否存在點Q,使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值為?若存在,確定點Q的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】設平面直角坐標系原點與極坐標極點重合,x軸正半軸與極軸重合,若已知曲線C的極坐標方程為,點F1、F2為其左、右焦點,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),t∈R).
(Ⅰ)求曲線C的標準方程和直線l的普通方程;
(Ⅱ)若點P為曲線C上的動點,求點P到直線l的最大距離.
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【題目】經(jīng)市場調(diào)查:生產(chǎn)某產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元,每生產(chǎn)萬件,需另投入流動成本為萬元,在年產(chǎn)量不足8萬件時,(萬元),在年產(chǎn)量不小于8萬件時,(萬元).通過市場分析,每件產(chǎn)品售價為5元時,生產(chǎn)的商品能當年全部售完.
(1)寫出年利潤(萬元)關于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;
(2)寫出當產(chǎn)量為多少時利潤最大,并求出最大值.
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【題目】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了人,其中女性人,男性人.女性中有人主要的休閑方式是看電視,另外人主要的休閑方式是運動;男性中有人主要的休閑方式是看電視,另外人主要的休閑方式是運動.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表;
(2)是否有97.5%的把握認為性別與休閑方式有關系?
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【題目】從3名男生和2名女生中任選兩人參加演講比賽,試求:
(1)所選2人都是男生的概率;
(2)所選2人恰有1名女生的概率;
(3)所選2人至少有1名女生的概率.
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