Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1），（c為常數）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=(

1

2

)nan，是否存在常數c，使得數列{b_n}為遞減數列，若存在求出c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）可得到

an+1

n+1

-

an

n

=c，進而可得到數列{

an

n

}是首項為1，公差為c的等差數列，然后根據等差數列的通項公式可得到

an

n

=1+（n-1）c，從而得到數列{a_n}的通項公式．
（2）先根據（1）求出數列{b_n}的通項公式，再由數列{b_n}為遞減數列可得到b_n+1-b_n=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0對任意的n∈N^*恒成立，然后令n=1、2、3分別求出c的范圍，再由根據函數的單調性求出的c的范圍與上面求出的c的范圍矛盾，故可得到實數c不存在．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
從而數列{

an

n

}是首項為1，公差為c的等差數列
∴

an

n

=1+（n-1）c，即a_n=cn²+（1-c）n
（2）bn=(

1

2

)nan=

cn2+(1-c)n

2n

∵數列{b_n}為遞減數列
∴bn+1-bn=

c(n+1)2+(1-c)(n+1)

2n+1

-

cn2+(1-c)n

2n

=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0對任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
當n=1時，由①得c＜0
當n=2時，由①得c＜

1

2

當n=3時，由①得c∈R
當n≥4時，c＞

n-1

3n-n2

設f（x）=

x-1

3x-x2

(x≥4)，則f'（x）=

x2-2x+3

(3x-x2)2

=

(x-1)2+2

(3x-x2)2

＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函數，從而-

3

4

≤f(x)＜0
∴c≥0
綜上可知，滿足條件的實數c不存在．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求法和根據數列的單調性求參數的范圍的問題．考查綜合運用能力和運算能力．