Question

【題目】已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)y=（mx﹣1）2 的圖象與y= +m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A.（0，1]∪[2 ，+∞）
B.（0，1]∪[3，+∞）
C.（0， ）∪[2 ，+∞）
D.（0， ]∪[3，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意，由于m為正數(shù)，y=（mx﹣1）2 為二次函數(shù)，在區(qū)間（0， ）為減函數(shù)，（ ，+∞）為增函數(shù)，
函數(shù)y= +m為增函數(shù)，
分2種情況討論：
①、當(dāng)0＜m≤1時(shí)，有 ≥1，
在區(qū)間[0，1]上，y=（mx﹣1）2 為減函數(shù)，且其值域?yàn)閇（m﹣1）2 ， 1]，
函數(shù)y= +m為增函數(shù)，其值域?yàn)閇m，1+m]，
此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
②、當(dāng)m＞1時(shí)，有 ＜1，
y=（mx﹣1）2 在區(qū)間（0， ）為減函數(shù)，（ ，1）為增函數(shù)，
函數(shù)y= +m為增函數(shù)，其值域?yàn)閇m，1+m]，
若兩個(gè)函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，則有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m為正數(shù)，則m≥3；
綜合可得：m的取值范圍是（0，1]∪[3，+∞）；
故選：B．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．