Question

【題目】已知函數和（且為常數），則下列結論正確的是（ ）

A.當時，存在實數，使得關于的方程有四個不同的實數根

B.存在，使得關于的方程有三個不同的實數根

C.當時，若函數恰有個不同的零點、、，則

D.當時，且關于的方程有四個不同的實數根、、、，若在上的最大值為，則

Answer 1

【答案】ACD

【解析】

分和兩種情況討論，利用數形結合思想可判斷出A、B選項的正誤；設，利用復合函數的零點可判斷C選項的正誤；求出、的值，結合對稱性可判斷出D選項的正誤.

若，則函數在區(qū)間上單調遞增，

且當時，，如下圖所示：

如上圖可知，此時關于的方程根的個數不大于，B選項不合乎題意；

若，且當時，函數在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，此時，

當時，若關于的方程有四個不同的實數根，則，解得，A選項正確；

設，由，得，

當時，，設關于的一元二次方程的兩根分別為、，由于函數有三個零點，則，，設，

由，得，由圖象可知，，

由，則，，即，，C選項正確；

當時，若，，

此時，函數與函數在區(qū)間上的兩個交點關于直線對稱，則.

如下圖所示，當時，函數與函數的兩個交點的橫坐標、滿足，且有，，則，

，，由圖象可知，函數在上單調遞減，在上單調增，，，

所以，，，則，，

所以，，D選項正確.

故選：ACD.