【題目】已知函數(shù).
(1)證明函數(shù)在上為減函數(shù);
(2)求函數(shù)的定義域,并求其奇偶性;
(3)若存在,使得不等式能成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2),奇函數(shù);(3).
【解析】
(1)利用單調(diào)性定義證明即可.
(2)根據(jù)條件可得,其解集即為函數(shù)的定義域,可判斷定義域關(guān)于原點對稱,再根據(jù)奇偶性定義可判斷函數(shù)的奇偶性.
(3)令,考慮在上有解即可,參變分離后利用基本不等式可求實數(shù)的取值范圍.
(1),,,
又,
因為,,,故,,,
故即,所以函數(shù)在上為減函數(shù).
(2)的滿足的不等關(guān)系有:即,
故,解得,
故函數(shù)的定義域為,,該定義域關(guān)于原點對稱.
令
又
,
故為奇函數(shù).
(3)令,因為,故.
故在上不等式能成立即為
存在,使得,所以在上能成立,
令,則且,
由基本不等式有,當且僅當時等號成立,
所以,當且僅當時等號成立,
故的最大值為,所以a的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼吸酒精含量閥值與檢驗》國家標準,新標準規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升,小于80毫克/百毫克升為飲酒駕車,血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車,經(jīng)過反復(fù)試驗,喝1瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如下:
該函數(shù)模型如下:
根據(jù)上述條件,回答以下問題:
(1)試計算喝1瓶啤酒后多少小時血液中的酒精含量達到最大值?最大值是多少?
(2)試計算喝1瓶啤酒后多少小時后才可以駕車?(時間以整小時計算)
(參數(shù)數(shù)據(jù): , , )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學試題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+a,a∈R.
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求a的范圍;
(3)對于曲線y=f(x)上的兩個不同的點P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),記直線PQ的斜率為k,若y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x),證明:f ′()<k.
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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應(yīng)關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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【題目】已知,當時,.
(Ⅰ)若函數(shù)過點,求此時函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)只有一個零點,求實數(shù)的值;
(Ⅲ)設(shè),若對任意實數(shù),函數(shù)在上的最大值與最小值的差不大于1,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】受日月引力影響,海水會發(fā)生漲退潮現(xiàn)象.通常情況下,船在漲潮時駛進港口,退潮時離開港口.某港口在某季節(jié)每天港口水位的深度(米)是時間(,單位:小時,表示0:00—零時)的函數(shù),其函數(shù)關(guān)系式為.已知一天中該港口水位的深度變化有如下規(guī)律:出現(xiàn)相鄰兩次最高水位的深度的時間差為12小時,最高水位的深度為12米,最低水位的深度為6米,每天13:00時港口水位的深度恰為10.5米.
(1)試求函數(shù)的表達式;
(2)某貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為7米,安全條例規(guī)定船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的,問該船在當天的什么時間段能夠安全進港?若該船欲于當天安全離港,則它最遲應(yīng)在當天幾點以前離開港口?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: (a﹥b﹥0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
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