【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調性；

（2）若，是的兩個零點，求證：．

【答案】（1）f（x）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（2）證明見解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的導數(shù) ，分和兩種情況討論函數(shù)的單調性；

（2）根據(jù)（1）的結果可知，即，利用分析法，將需要證明想不等式轉化為證明，只需證明，利用函數(shù)的單調性和零點存在性定理可證明，根據(jù)零點存在性定理和單調性證明.

（1）f（x）的定義域為（0，＋∞），且，

①當a≤0時，f'（x）≤0，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，＋∞）；②當a＞0時，由f'（x）＞0得，故f（x）的單調遞增區(qū)間為，

單調遞減區(qū)間為．

（2）∵f（x）有兩個零點，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要證原不等式成立，只需證明，只需證明，

只需證明．

一方面∵a＞2e，∴，

∴，∴，

且f（x）在單調遞增，故；

另一方面，令，（x＞0），

則，當時，g'（x）＜0；當時，g'（x）＞0；

故，故g（x）≥0即時x∈（0，＋∞）恒成立，

令，

則，于是，

而，

故，且f（x）在單調遞減，故；

綜合上述，，即原不等式成立．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面 平面，，， .

(1)證明

(2)設點在線段上，且，若的面積為，求四棱錐的體積

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【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸非負半軸為極軸極坐標，曲線的方程：（為參數(shù)），曲線的方程：．

（1）求曲線和曲線的直角坐標系方程；

（2）從上任意一點作曲線的切線，設切點為，求切線長的最小值及此時點的極坐標．

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【題目】數(shù)列,定義為數(shù)列的一階差分數(shù)列,其中.

(1)若,試斷是否是等差數(shù)列,并說明理由；

(2)若證明是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式；

(3)對(2)中的數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切都成立,若存在,求出數(shù)列的通項公式；若不存在,請說明理由.

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【題目】已知某橢圓C，它的中心在坐標原點，左焦點為F（﹣，0），且過點D（2，0）．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若已知點A（1，），當點P在橢圓C上變動時，求出線段PA中點M的軌跡方程．

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【題目】已知函數(shù)，

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】自由購是一種通過自助結算購物的形式．某大型超市為調查顧客自由購的使用情況，隨機抽取了100人，調查結果整理如下：

20以下

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70]

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（1）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購的概率；

（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購顧客中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；

（3）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論的單調性；

（2）設，若關于的不等式在上有解，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，，．

（1）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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