【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于軸上方一點(diǎn)，以為邊作矩形，其中直線過(guò)原點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求矩形面積的最大值；

（3）矩形能否為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）為正方形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，其中，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，并求出，可得出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式，然后利用基本不等式可求得的最大值；

（3）由四邊形為正方形得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理來(lái)說(shuō)明函數(shù)在時(shí)有零點(diǎn)，進(jìn)而說(shuō)明四邊形能成為正方形.

（1）由題意：，解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)為且，則直線的方程為，即，

聯(lián)立得，

解得，，所以，

直線的方程為，即，所以，

所以矩形面積，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矩形面積取最大值為；

（3）若矩形為正方形，則，即，則，

令，

因?yàn)?/span>，，又的圖象不間斷，

所以有零點(diǎn)，所以存在矩形為正方形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：

間隔時(shí)間（分鐘）

10

11

12

13

14

15

等侯人數(shù)（人）

23

25

26

29

28

31

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)的差，若差值的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱(chēng)所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

（1）若選取的是后面4組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”；

（2）為了使等候的乘客不超過(guò)35人，試用（1）中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少（精確到整數(shù)）分鐘？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，以PF1為直徑的圓E：x2過(guò)點(diǎn)F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P且斜率大于0的直線l1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與直線x＝4的交點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x＝4交于點(diǎn)D，求△ABD面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有一塊以點(diǎn)為圓心，半徑為百米的圓形草坪，草坪內(nèi)距離點(diǎn)百米的點(diǎn)有一用于灌溉的水籠頭，現(xiàn)準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)修一條筆直小路交草坪圓周于兩點(diǎn)，為了方便居民散步，同時(shí)修建小路，其中小路的寬度忽略不計(jì).

（1）若要使修建的小路的費(fèi)用最省，試求小路的最短長(zhǎng)度；

（2）若要在區(qū)域內(nèi)(含邊界)規(guī)劃出一塊圓形的場(chǎng)地用于老年人跳廣場(chǎng)舞，試求這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積.(結(jié)果保留根號(hào)和)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱的底面是平行四邊形，，．

（1）求證：∥平面；

（2）若，，，求與平面所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知當(dāng)，函數(shù)，且，若的圖像與的圖像在第二象限有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，則mn的個(gè)位數(shù)是1的概率為____________ .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來(lái)越深入人心，據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對(duì)生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（Ⅰ）求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）和年齡的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；

（Ⅱ）現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求抽取的3人中恰有2人的年齡在第2組中的概率；

（Ⅲ）若從所有參與調(diào)查的人（人數(shù)很多）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線l與C交于M，N兩點(diǎn).

（1）若l過(guò)點(diǎn)F，點(diǎn)M，N到直線y＝2的距離分別為d1，d2，且，求l的方程；

（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），直線m過(guò)點(diǎn)M交C于另一點(diǎn)N′，當(dāng)直線l與m的斜率之和為2時(shí)，證明：直線NN′過(guò)定點(diǎn).

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