Question

【題目】函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域A；
（2）設(shè)B={x|﹣1＜x＜2}，當(dāng)實(shí)數(shù)a、b∈（B∩RA）時，證明： |．

Answer 1

【答案】
（1）解:由題意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，

當(dāng)x≤﹣2時，得x≤﹣4；當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時，無解；當(dāng)x≥﹣1時，得x≥1，

∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；

（2）證：∵B={x|﹣1＜x＜2}，RA={x|﹣4＜x＜1}，

∴B∩RA={x|﹣1＜x＜1}，

∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，

要證 ＜|1+ |，只需證4（a+b）2＜（4+ab）2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），

∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，

∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴ ＜|1+ |成立．

【解析】（1）分類討論x的范圍，根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根，利用絕對值的代數(shù)意義求出x的范圍，即可確定出A；（2）求出B與A補(bǔ)集的交集，得到a、b滿足的集合，把所證等式兩邊平方，利用作差法驗(yàn)證即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算和函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法；求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零才能正確解答此題．