如圖，在直線三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，異面直線A1B與B1C1所成的角為60°．

（Ⅰ）求證：AC⊥A1B；
（Ⅱ）設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值．
（Ⅰ）本題關(guān)鍵是證明平面（Ⅱ）

試題分析：解:(Ⅰ)三棱柱是直三棱柱,
平面,.
又,平面
平面,
平面,從而.                 
(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,線段長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),則,,,
則
由于直線與所成的角為,
所以,.           
,,設(shè)平面的法向量,
,可取.,.     
于是,
所以與平面所成角的正弦值為.
點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，常考的定理是：直線與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理。當(dāng)然，此類題目也經(jīng)常要我們求出幾何體的體積和表面積。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

將棱長(zhǎng)為的正方體截去一半（如圖甲所示）得到如圖乙所示的幾何體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,，,AD=AB=1,AC和BD交于O點(diǎn).
(I)求證：平面PBD丄平面PAC.
(II)當(dāng)點(diǎn)A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是ΔPBD的重心時(shí)，求二面角B-PD-A的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，平面垂直于平面，且，，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若分別為棱和的中點(diǎn)，求證：∥平面；
（Ⅲ）求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐中，平面，，分別是的中點(diǎn)，，與交于，與交于點(diǎn)，連接。

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在四邊形中，∥，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列命題正確的是（  ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

（Ⅰ）求PD與BC所成角的大��；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC =90°，將△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，則C－DAB三棱錐的外接球的體積為­________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括
A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱
C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓錐D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐

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