Question

將棱長(zhǎng)為的正方體截去一半（如圖甲所示）得到如圖乙所示的幾何體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ．

試題分析：（Ⅰ）證明：，證明兩線垂直，只需證一線垂直另一線所在的平面，因此本題的關(guān)鍵是找平面，注意到過的線中，可考慮連接，看是否垂直平面,因此本題轉(zhuǎn)化為只要證明即可，由平面幾何知識(shí)易證；（Ⅱ）求棱錐的體積，直接求，底面面積及高都不好求，但注意到棱錐與棱錐是一個(gè)幾何體，而這個(gè)棱錐的高為，而的面積，故體積容易求，值得注意的是，當(dāng)一個(gè)幾何體的體積不好求是，可進(jìn)行轉(zhuǎn)化成其它幾何體來(lái)求．
試題解析：（Ⅰ）證：連接，交于點(diǎn)，∵平面，平面,∴，
∵點(diǎn)，分別是，　的中點(diǎn)，　∴，　又∵，，∴≌，∴，又∵,∴，
∴，即，又∵,∴平面,
又∵平面,∴；
（Ⅱ）解：∵平面，∴是三棱錐的高，且，
∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴，∴