【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓),,,是橢圓上的四個動點(diǎn),且,,線段交于橢圓內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)重合時,四邊形的面積為4.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)證明:當(dāng)點(diǎn),,在橢圓上運(yùn)動時,)是定值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)是定值

【解析】

試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件建立方程組,然后解方程組求出,;(2)先設(shè)四點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,然后將點(diǎn),的坐標(biāo)代入橢圓方程得:,.再兩式相減得:,求得,進(jìn)而得到,①

將點(diǎn),的坐標(biāo)代入橢圓方程,同理可得:,最后設(shè)),得,即,即,,②。再設(shè),同理可得:,,③。由①②③得:

整理得: ,進(jìn)而得到,從而求出。

解:(Ⅰ)由題可知:,解得,,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(Ⅱ)設(shè),,,

將點(diǎn),的坐標(biāo)代入橢圓方程得:,.

兩式相減得:,

,∴,①

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,同理可得:

設(shè)),得

,即,②

設(shè),同理可得:,,③

由①②③得:

整理得: ,

,,∴,

所以是定值.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】立德中學(xué)和樹人中學(xué)各派一名學(xué)生組成一個聯(lián)隊參加一項智力競賽,這個智力競賽一共兩輪,在每一輪中,兩名同學(xué)各回答一次題目,已知,立德中學(xué)派出的學(xué)生每輪中答對問題的概率都是,樹人中學(xué)派出的學(xué)生每輪中答對問題的概率都是;每輪中,兩位同學(xué)答對與否互不影響,各論結(jié)果亦互不影響,求:

(Ⅰ)兩輪比賽后,立德中學(xué)的學(xué)生恰比樹人中學(xué)的學(xué)生答對題目的個數(shù)多個的概率;

(Ⅱ)兩輪比賽后,記為這兩名同學(xué)一共答對的題目數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,的中點(diǎn),,四邊形為矩形,線段于點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求二面角的正弦值;

(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.

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【題目】已知為單位正方體,黑白兩只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為走完一段,白螞蟻爬行的路線是,黑螞蟻爬行的路線是,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線(其中是自然數(shù)),設(shè)黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個頂點(diǎn)處,這時黑、白兩只螞蟻的距離是______________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M: 及其上一點(diǎn)A2,4

1)設(shè)圓Nx軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于BC兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;

3)設(shè)點(diǎn)Tt,o)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)PQ,使得,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

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【題目】已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)上的最小值是時,求m的值.

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【題目】如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)(與軸的交點(diǎn)除外),直線交橢圓于另一個點(diǎn).

(1)當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)時,求的面積;

(2)①記直線的斜率分別為,求證:為定值;

②求的取值范圍.

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【題目】教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān),某校興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從該校選擇甲乙兩個同類班級進(jìn)行試驗,其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練,乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練,一段時間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試,統(tǒng)計數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表(單位:人)

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計

甲班

乙班

總計

(1)能否據(jù)此判斷有把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)?

(2)經(jīng)過多次測試后,小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在分鐘,小剛正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在分鐘,現(xiàn)小明、小剛同時獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題,求小剛比小明先正確解答完的概率;

(3)現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的名同學(xué)中任意抽取兩人,并對他們的答題情況進(jìn)行全程研究,記兩人中被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望

附表及公式:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知偶函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,.關(guān)于偶函數(shù)的圖象和直線個命題如下:

當(dāng)時,存在直線與圖象恰有個公共點(diǎn);

若對于,直線與圖象的公共點(diǎn)不超過個,則;

,,使得直線與圖象交于個點(diǎn),且相鄰點(diǎn)之間的距離相等.

其中正確命題的序號是( ).

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

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