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【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點的切線方程；

（2）對一切， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，試討論在內的極值點的個數.

【答案】(1) ；(2)實數的取值范圍為；

(3)當， 在內的極值點的個數為1；當時, 在

內的極值點的個數為0.

【解析】試題分析：(1)利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導數的幾何意義求切線的斜率，最后把直線方程化成一般式；（2）利用導數方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構造函數，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數，其中一個重要的技巧就是找到函數在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式；(3)對于恒成立的問題常采用分離參數的方法，常用到兩個結論：（1），（2）；（4）單調函數最多只有一個零點.

試題解析：解：(1) 由題意知,所以

又，

所以曲線在點的切線方程為5分

(2)由題意: ,即

設,則

當時,；當時,

所以當時， 取得最大值

故實數的取值范圍為. 10分

(3) ，，

①當時, ∵∴存在使得

因為開口向上，所以在內,在內即在內是增函數, 在內是減函數

故時， 在內有且只有一個極值點, 且是極大值點. 12分

②當時,因

又因為開口向上

所以在內則在內為減函數，故沒有極值點 14分

綜上可知：當， 在內的極值點的個數為1；當時, 在

內的極值點的個數為0. 15分

練習冊系列答案
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小區(qū)

A

B

C

D

代表人數

45

60

30

15

(I)求此活動中各小區(qū)“幸運之星”的人數；

（II）從B小區(qū)和C小區(qū)的“幸運之星”中任選兩人進行后續(xù)的活動，求這兩個人均來自B小區(qū)的概率；

（III）消防機構在B小區(qū)內，對參加問答活動的居民進行了是否有興趣參加消防安全培訓的問卷調查，統計結果如下（單位：人）：

有興趣

無興趣

合計

男

25

5

30

女

15

15

30

合計

40

20

60

據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為有興趣參加消防安全培訓與性別有關系？

臨界值表：

參考公式：，其中．

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