【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c,且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個交點;
(2)在(1)的條件下,是否存在m∈R,使得f(m)=﹣a成立時,f(m+3)為正數(shù),若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,請說明理由;
(3)若對x1 , x2∈R,且x1<x2 , f(x1)≠f(x2),方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]有兩個不等實根,證明必有一個根屬于(x1 , x2).
【答案】
(1)解:因為f(1)=0,
所以a+b+c=0,
又因為a>b>c,
所以a>0,且c<0,
因此ac<0,
所以△=b2﹣4ac>0,
因此f(x)的圖象與x軸有2個交點
(2)解:由(1)可知方程f(x)=0有兩個不等的實數(shù)根,不妨設(shè)為x1和x2,
因為f(1)=0,
所以f(x)=0的一根為x1=1,
因為x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
所以x2=﹣ ﹣1= ,
因為a>b>c,a>0,且c<0,
所以﹣2<x2<0.
因為要求f(m)=﹣a<0,
所以m∈(x1,x2),
因此m∈(﹣2,1),
則m+3>1,
因為函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增;
所以f(m+3)>f(1)=0成立
(3)解:構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],
則g(x1)=f(x1)﹣ [f(x1)+f(x2)]= [f(x1)﹣f(x2)],
g(x2)=f(x2)﹣ [f(x1)+f(x2)]= [f(x2)﹣f(x1)],
于是g(x1)g(x2)= [f(x1)﹣f(x2)][f(x2)﹣f(x1)]
=﹣ [f(x1)﹣f(x2)]2,
因為f(x1)≠f(x2),
所以g(x1)g(x2)=﹣ [f(x1)﹣f(x2)]2<0,
所以方程g(x)=0在(x1,x2)內(nèi)有一根,
即方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一根屬于(x1,x2)
【解析】(1)由f(1)=0,得a+b+c=0,根據(jù)a>b>c,可知a>0,且c<0,再利用根的判別式可證;(2)由條件知方程的一根為1,另一根滿足﹣2<x2<0.由于f(m)=﹣a<0,可知m∈(﹣2,1),從而m+3>1,根據(jù)函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,可知(m+3)>0成立. (3)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],進而證明g(x1)g(x2)<0,所以方程g(x)=0在(x1 , x2)內(nèi)有一根,故方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一根屬于(x1 , x2).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品最近30天的價格f(t)(元)與時間t滿足關(guān)系式:f(t)= ,且知銷售量g(t)與時間t滿足關(guān)系式 g(t)=﹣t+30,(0≤t≤30,t∈N+),求該商品的日銷售額的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)請在直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象,并寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣m恰有3個不同零點,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)其中實數(shù)為常數(shù)且.
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)既有極大值,又有極小值,求實數(shù)的取值范圍及所有極值之和;
(III)在(II)的條件下,記分別為函數(shù)的極大值點和極小值點,
求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b5=13,a5+b3=21.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 求數(shù)列{Snbn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓C: 的長軸是短軸的兩倍,點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點,設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、,且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列,記△的面積為S.
(1)求橢圓C的方程.
(2)試判斷是否為定值?若是,求出這個值;若不是,請說明理由?
(3)求S的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與車庫到車站的距離x成反比,而每月的庫存貨物的運費y2與車庫到車站的距離x成正比.如果在距離車站10公里處建立倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元.求若要使得這兩項費用之和最小時,倉庫應(yīng)建在距離車站多遠處?此時最少費用為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級共有學(xué)生600名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:2ax+y﹣1=0,l2:ax+(a﹣1)y+1=0,
(1)若l1⊥l2 , 求實數(shù)a的值;
(2)若l1∥l2時,求直線l1與l2之間的距離.
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