【題目】已知，，是橢圓：上的三點(diǎn)，其中的坐標(biāo)為，過橢圓的中心，且橢圓長軸的一個端點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求面積；

（3）設(shè)直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，，且線段的中垂線過橢圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

【答案】（1）；（2）6；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，再由正三角形的條件可得，解得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）由題意寫出點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，，代入數(shù)值即可求得面積；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程消掉得的二次方程，設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)，，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直可得，解出即得值，注意檢驗(yàn)△．

（1）的坐標(biāo)為，，即有，

橢圓長軸的一個端點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，

可得，解得，

則橢圓的方程為；

（2）直線的方程為，

代入橢圓方程，得，

；

（3）由得，△，

依題意，，設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)，，

則，，，，，

由，得，解得．

所以實(shí)數(shù)的值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角的余弦值等于，求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：

學(xué)生序號

1

2

3

4

5

6

7

數(shù)學(xué)成績

60

65

70

75

85

87

90

物理成績

70

77

80

85

90

86

93

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/span>

附：線性回歸方程，

其中，.

76

83

812

526

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義符號函數(shù)，已知，.

（1）求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值.

（2）當(dāng)時，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.

（3）已知存在，使得對任意的恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐中，，，.

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為且時，求的中線與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).

（1）討論在上的奇偶性；（只要寫出結(jié)論，不需要證明）

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

附：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓方程為．

（1）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，求的值；

（2）設(shè)直線和圓相切，和橢圓交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段、分別和圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面、E為的中點(diǎn)，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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