【題目】已知函數(shù)f(x)=eax﹣x. (Ⅰ)若曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線l與直線x+2y+3=0垂直,求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)a≠1時(shí),求證:存在實(shí)數(shù)x0使f(x0)<1.

【答案】(Ⅰ)解:f'(x)=aeax﹣1,

∵曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線與直線x+2y+3=0垂直,

∴切線l的斜率為2,

∴f'(0)=a﹣1=2,

∴a=3;

(Ⅱ)證明:當(dāng)a≤0時(shí),顯然有f(1)<ea﹣1≤0<1,即存在實(shí)數(shù)x0使f(x0)<1;

當(dāng)a>0,a≠1時(shí),由f'(x)=0可得 ,

∴在 時(shí),f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)在 上遞減;

時(shí),f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)在 上遞增.

= 是f(x)的極小值.

設(shè) ,則 ,令g'(x)=0,得x=1.

x

(0,1)

1

(1,+∞)

g'(x)

+

0

g(x)

極大值

∴當(dāng)x≠1時(shí)g(x)<g(1)=1,

綜上,若a≠1,存在實(shí)數(shù)x0使f(x0)<1


【解析】(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線l與直線x+2y+3=0垂直,求a的值;(Ⅱ)當(dāng)a≤0時(shí),有f(1)<ea﹣1≤0<1,即存在實(shí)數(shù)x0使f(x0)<1;當(dāng)a>0,a≠1時(shí),求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段,由單調(diào)性求出函數(shù)的極小值,再由導(dǎo)數(shù)求出極小值的最大值得答案.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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B.先向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
C.橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍,縱坐標(biāo)不變,再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.橫坐標(biāo)變伸長(zhǎng)原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度

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A.T1 , T2 , T3 , T4中至少有一個(gè)為正數(shù)
B.T1 , T2 , T3 , T4中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)
C.T1 , T2 , T3 , T4中至多有一個(gè)為正數(shù)
D.T1 , T2 , T3 , T4中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)

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